Enunțul problemei 100m, de clasa a 10-a, dată în 2017 la ONI, se găsește pe InfoArena și PbInfo.
Rezumat
În problema 100m, ni se cere să determinăm numărul modalităților în care cei $n$ concurenți ai unei probe de 100 metri pot trece linia de finish, știind că între aceștia pot exista și egalități. De exemplu, pentru $n = 3$, numerotând concurenții cu $1$, $2$, $3$, vom obține următoarele clasamente:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
(1) (2) (3) (1) (3) (2) (2) (1) (3) (2) (3) (1) (3) (1) (2) (3) (2) (1) (1 = 2) (3) (3) (1 = 2) (1 = 3) (2) (2) (1 = 3) (2 = 3) (1) (1) (2 = 3) (1 = 2 = 3) |
Soluție
Această problemă este o aplicație obișnuită la Numerele lui Stirling de speța a II-a. Vom considera, pe rând, toate partițiile mulțimii $\{1, 2, \ldots, n\}$ în $1, 2, \ldots, n$ submulțimi. Pentru fiecare partiție, submulțimea $i$ reprezintă grupul de concurenți care s-au clasat pe poziția $i$ (fiind la egalitate). De exemplu, partiția $\{1\}, \{2, 5\}, \{4\}, \{3, 6, 7\}$ are semnificația:
Concurentul $1$ s-a clasat pe prima poziție, concurenții $2$ și $5$ pe a doua poziție, fiind la egalitate, concurentul $4$ pe a treia poziție, iar concurenții $3$, $6$ și $7$ au terminat proba simultan, situându-se pe ultima poziție.
Pe fiecare astfel de partiție de $k$ submulțimi o putem permuta în toate modurile posibile ($k!$), pentru că acele grupuri de sportivi pot sosi în orice ordine. Pentru punctajul maxim vom precalcula eficient numere lui Stirling, cât și factorialul corespunzător fiecărui $k$. De asemenea, vom avea în vedere utilizarea aritmeticii modulare, deoarece rezultatul trebuie afișat modulo $666013$.
Sursă C++
Dacă ai vreo nedumerire cu privire la problema 100m, lasă un comentariu și te voi ajuta 🙂
Îți place conținutul acestui site?
Dacă vrei să mă susții în întreținerea server-ului și în a scrie mai multe articole de calitate pe acest blog, mă poți ajuta printr-o mică donație. Află aici cum o poți face!